原来勾股定理可以这样证！

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下面这个证明可能算不上漂亮，但它的身世很有趣，因为它并非出自数学家之手，相反，提出它的人干的是可能最世俗、离象牙塔最远的工作——他是个政客。这是第十二任美国总统加菲尔德1863年发表在一份期刊上的勾股定理的梯形证明：

直角三角形ABC与三角形BDE全等，将它们如图平放，构成一个梯形AEDC。
因为两个直角三角形是平放的，C,B,D共线，所以 ∠CBD = 180°
而 ∠β + ∠EBD = ∠β + ∠α = 90°， 可知∠ABE = 90°
梯形面积 = 三个三角形面积相加
1/2 * (a+b)^2 = 1/2 * c^2 + 1/2 *ab + 1/2 * ab
化简得 a^2 + b^2 = c^2

至于漂亮的证明，如果说简洁就是美的话，那么越简洁的证明越美，无言的证明就是最美的。下面这个证明接近于无言：

用四个阴影三角形拼成一个新正方形（右）后，新正方形面积与左边的原正方形相等， a^2 + b^2 = c^2 一目了然。

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勾股定理的达芬奇证明：

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欧几里德的证明：

1. 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。
2. 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
3. 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
4. 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。
5. ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。
6. ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。
7. 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。
8. 因为 A 与 K 和 L在同一直线上，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。
9. 因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。
10. 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。
11. 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。
12. 把这两个结果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
13. 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
14. 由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = BC²。

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中国三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”，即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法

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最简单的：

复杂一点的：

再复杂一点的：

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